The Brachistochrone Curve: 18 ขั้นตอน (พร้อมรูปภาพ)

2025 ผู้เขียน: John Day | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2025-01-23 15:12

เส้นโค้งเบรคิสโตโครนเป็นปัญหาฟิสิกส์แบบคลาสสิก ซึ่งได้มาจากเส้นทางที่เร็วที่สุดระหว่างจุด A และจุด B ซึ่งอยู่ที่ระดับความสูงต่างกัน แม้ว่าปัญหานี้อาจดูเรียบง่าย แต่ก็ให้ผลลัพธ์ที่เข้าใจง่ายและน่าติดตาม ในคำแนะนำนี้ เราจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับปัญหาทางทฤษฎี พัฒนาวิธีแก้ปัญหา และสุดท้ายสร้างแบบจำลองที่แสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติของหลักการทางฟิสิกส์ที่น่าทึ่งนี้

โครงงานนี้ออกแบบมาสำหรับนักเรียนระดับมัธยมศึกษาตอนปลายเนื่องจากครอบคลุมแนวคิดที่เกี่ยวข้องในชั้นเรียนทฤษฎี โครงการภาคปฏิบัตินี้ไม่เพียงแต่เสริมสร้างความเข้าใจในหัวข้อนี้เท่านั้น แต่ยังมีการสังเคราะห์ด้านอื่นๆ อีกหลายด้านเพื่อพัฒนา ตัวอย่างเช่น ขณะสร้างแบบจำลอง นักเรียนจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับทัศนศาสตร์ผ่านกฎของ Snell, การเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์, การสร้างแบบจำลอง 3 มิติ, การแยกแสงแบบดิจิทัล และทักษะพื้นฐานด้านงานไม้ สิ่งนี้ทำให้ทั้งชั้นเรียนมีส่วนร่วมในการแบ่งงานกันเอง ทำให้เป็นการทำงานเป็นทีม เวลาที่ต้องใช้ในการทำโครงงานนี้ประมาณหนึ่งสัปดาห์ และสามารถนำไปแสดงต่อชั้นเรียนหรือกับนักเรียนที่อายุน้อยกว่าได้

ไม่มีวิธีใดที่จะดีไปกว่าการเรียนรู้ผ่าน STEM ดังนั้นให้ทำตามเพื่อสร้างแบบจำลอง brachistochrone ที่ใช้งานได้ของคุณเอง ถ้าคุณชอบโครงการนี้ โหวตให้ในการประกวดในชั้นเรียน

ขั้นตอนที่ 1: ปัญหาเชิงทฤษฎี

ปัญหาเบรคิสโตโครนคือปัญหาที่หมุนรอบการหาเส้นโค้งที่เชื่อมจุด A และจุด B เข้าด้วยกันที่ระดับความสูงต่างกัน โดยที่ B ไม่ได้อยู่ใต้ A โดยตรง ดังนั้นการทิ้งหินอ่อนภายใต้อิทธิพลของสนามโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอตามเส้นทางนี้จะทำให้เกิด ถึง B ในเวลาที่เร็วที่สุด โยฮันน์ เบอร์นูลลี ก่อปัญหาขึ้นในปี ค.ศ. 1696

เมื่อ Johann Bernoulli ถามปัญหาของ brachistochrone ในเดือนมิถุนายน 1696 ถึงผู้อ่าน Acta Eruditorum ซึ่งเป็นหนึ่งในวารสารทางวิทยาศาสตร์ฉบับแรกของดินแดนที่พูดภาษาเยอรมันของยุโรป เขาได้รับคำตอบจากนักคณิตศาสตร์ 5 คน ได้แก่ Isaac Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus และ Guillaume de l'Hôpital ต่างก็มีแนวทางที่ไม่เหมือนใคร!

การแจ้งเตือน: ขั้นตอนต่อไปนี้มีคำตอบและเปิดเผยความงามเบื้องหลังเส้นทางที่เร็วที่สุดนี้ ใช้เวลาสักครู่เพื่อลองคิดเกี่ยวกับปัญหานี้ บางทีคุณอาจจะแตกมันเหมือนกับหนึ่งในห้าอัจฉริยะ

ขั้นตอนที่ 2: ใช้กฎของสเนลล์เพื่อสาธิต

แนวทางหนึ่งในการแก้ปัญหาแบรคิสโตโครนคือการจัดการปัญหาด้วยการเปรียบเทียบกับกฎของสเนลล์ กฎของสเนลล์ใช้เพื่ออธิบายเส้นทางที่ลำแสงจะวิ่งตามเพื่อเดินทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งในขณะที่เปลี่ยนผ่านสื่อสองชนิด โดยใช้หลักการของแฟร์มาต์ ซึ่งบอกว่าลำแสงจะใช้เส้นทางที่เร็วที่สุดเสมอ สามารถหาอนุพันธ์อย่างเป็นทางการของสมการนี้ได้โดยไปที่ลิงค์ต่อไปนี้

เนื่องจากวัตถุที่ตกลงมาอย่างอิสระภายใต้อิทธิพลของสนามโน้มถ่วงสามารถเปรียบเทียบได้กับลำแสงที่เคลื่อนที่ผ่านตัวกลางที่เปลี่ยนแปลง ทุกครั้งที่ลำแสงสัมผัสกับตัวกลางใหม่ ลำแสงจะเบี่ยงเบนเล็กน้อย มุมของส่วนเบี่ยงเบนนี้สามารถคำนวณได้โดยใช้กฎของสเนลล์ ขณะที่เรายังคงเพิ่มชั้นของการลดความหนาแน่นที่ด้านหน้าของลำแสงเบี่ยงเบน จนกว่าลำแสงจะไปถึงมุมวิกฤต ซึ่งลำแสงเพิ่งถูกสะท้อนกลับ วิถีโคจรของลำแสงจะอธิบายเส้นโค้งเบรคิสโตโครน (เส้นโค้งสีแดงในแผนภาพด้านบน)

อันที่จริงแล้ว เส้นโค้งเบรคิสโตโครนคือไซโคลิดซึ่งเป็นส่วนโค้งที่ลากเส้นโดยจุดบนขอบล้อวงกลมในขณะที่ล้อหมุนไปตามเส้นตรงโดยไม่ลื่นไถล ดังนั้นหากเราจำเป็นต้องวาดเส้นโค้ง เราก็สามารถใช้วิธีการด้านบนเพื่อสร้างมันขึ้นมาได้ คุณสมบัติพิเศษอีกอย่างหนึ่งของเส้นโค้งคือ ลูกบอลที่ปล่อยออกมาจากจุดใดๆ ของเส้นโค้งจะใช้เวลาเท่ากันทุกประการในการไปถึงด้านล่าง ขั้นตอนต่อไปนี้อธิบายกระบวนการทำการทดลองในห้องเรียนโดยการสร้างแบบจำลอง

ขั้นตอนที่ 3: แบบจำลองการทดลองเชิงปฏิบัติ

โมเดลประกอบด้วยเส้นทางตัดด้วยเลเซอร์ซึ่งทำหน้าที่เป็นรางสำหรับลูกหิน เพื่อแสดงให้เห็นว่าเส้นโค้งเบรคิสโตโครนเป็นเส้นทางที่เร็วที่สุดจากจุด A ถึง B เราจึงตัดสินใจเปรียบเทียบกับเส้นทางอื่นอีกสองเส้นทาง เนื่องจากมีคนจำนวนไม่น้อยที่รู้สึกว่าส่วนที่สั้นที่สุดนั้นเร็วที่สุด เราจึงตัดสินใจใส่ความชันตรงที่เชื่อมจุดทั้งสองเป็นเส้นทางที่สอง อันที่สามเป็นทางโค้งสูงชัน เนื่องจากใครๆ ก็รู้สึกว่าการตกอย่างกะทันหันจะสร้างความเร็วมากพอที่จะเอาชนะส่วนที่เหลือ

การทดลองครั้งที่สองโดยปล่อยลูกบอลจากระดับความสูงต่างกันบนเส้นทางเบรคิสโตโครนสามเส้นทาง ส่งผลให้ลูกบอลไปถึงพร้อมกัน ดังนั้น โมเดลของเราจึงมีคู่มือการพิมพ์ 3 มิติที่สามารถใช้แทนกันได้ระหว่างแผงอะครีลิคเพื่อให้ทำการทดลองทั้งสองได้

สุดท้ายกลไกการปลดปล่อยช่วยให้มั่นใจได้ว่าลูกบอลจะหล่นลงมาด้วยกันและโมดูลจับเวลาที่ด้านล่างจะบันทึกการจับเวลาเมื่อลูกบอลไปถึงด้านล่าง เพื่อให้บรรลุสิ่งนี้ เราได้ฝังลิมิตสวิตช์สามตัวที่เปิดใช้งานเมื่อลูกบอลทริกเกอร์

หมายเหตุ: คุณสามารถคัดลอกการออกแบบนี้แล้วสร้างจากกระดาษแข็งหรือวัสดุอื่น ๆ ที่หาได้ง่าย

ขั้นตอนที่ 4: วัสดุที่จำเป็น

นี่คือชิ้นส่วนและวัสดุสิ้นเปลืองเพื่อสร้างแบบจำลองการทำงานของการทดลองแบรคิสโตโครน

ฮาร์ดแวร์:

แผ่นไม้สน 1" - ขนาด 100ซม. x 10ซม

Neodymium Magnetx 4 - ขนาด; เส้นผ่านศูนย์กลาง 1 ซม. สูง 0.5 ซม

3D Printing Filament- PLA หรือ ABS ใช้ได้

เม็ดมีดเกลียว M3 x 8 - (อุปกรณ์เสริม)

สลักเกลียว M3 x 8 - ยาว 2.5 ซม

สกรูไม้ x ยาว 3 - 6 ซม

สกรูไม้ 12 - 2.5ซม. ยาว

อิเล็กทรอนิกส์:

Arduino Uno

Limit Switchx 4- สวิตช์เหล่านี้จะทำหน้าที่เป็นระบบจับเวลา

ปุ่มกด

จอ LCD

Jumpwire x มากมาย

ค่าใช้จ่ายทั้งหมดของโมเดลอยู่ที่ประมาณ 3 0$

ขั้นตอนที่ 5: การพิมพ์ 3 มิติ

ชิ้นส่วนต่างๆ เช่น กลไกการปลดและกล่องควบคุมถูกสร้างขึ้นโดยใช้เครื่องพิมพ์ 3 มิติ รายการต่อไปนี้ประกอบด้วยจำนวนชิ้นส่วนทั้งหมดและข้อกำหนดการพิมพ์ ไฟล์ STL ทั้งหมดมีอยู่ในโฟลเดอร์ที่แนบมาด้านบน ทำให้สามารถแก้ไขไฟล์ที่จำเป็นได้หากจำเป็น

กล่องควบคุม x 1, เติม 20%

ไกด์ x 6, เติม 30%

สิ้นสุดการหยุด x 1, 20% เติม

Pivot Arm x 1, 20% เติม

Pivot Mount x 1, เติม 30%

ชิ้นส่วนที่ปล่อยออกมา x 1, เติม 20%

ชิ้นส่วนถูกพิมพ์ด้วย PLA เนื่องจากไม่มีแรงกดบนชิ้นงาน โดยรวมใช้เวลาพิมพ์ประมาณ 40 ชั่วโมง

ขั้นตอนที่ 6: เลเซอร์ตัดเส้นทาง

เส้นทางต่างๆ ที่เราออกแบบบน fusion 360 ถูกส่งออกเป็นไฟล์.dxf แล้วจึงตัดด้วยเลเซอร์ เราเลือกอะครีลิคสีขาวขุ่นที่มีความหนา 3 มม. เพื่อสร้างส่วนโค้ง แม้กระทั่งทำจากไม้ด้วยเครื่องมือช่าง แต่สิ่งสำคัญคือต้องแน่ใจว่าวัสดุที่เลือกมีความแข็ง เนื่องจากความยืดหยุ่นอาจส่งผลต่อการกลิ้งลูกบอล

6 x Brachistochrone Curve

2 x เส้นโค้งสูงชัน

2 x เส้นโค้งตรง

ขั้นตอนที่ 7: การตัดไม้

โครงของโมเดลทำจากไม้ เราเลือกไม้สนขนาด 1" คูณ 4" เนื่องจากยังมีบางส่วนเหลือจากโครงการก่อนหน้านี้ แม้ว่าจะเลือกใช้ไม้ตามต้องการก็ตาม ใช้เลื่อยวงเดือนและไกด์เราตัดไม้ยาวสองชิ้น:

48 ซม. ซึ่งเป็นความยาวของเส้นทาง

ความสูง 31 ซม

เราทำความสะอาดขอบหยาบด้วยการขัดเบาๆ บนเครื่องขัดดิสก์

ขั้นตอนที่ 8: เจาะรู

ก่อนขันสกรูทั้งสองชิ้นเข้าด้วยกัน ให้ทำเครื่องหมายความหนาของไม้ที่ปลายด้านหนึ่งของชิ้นล่างและจัดรูสามรูที่เท่ากันให้อยู่ตรงกลาง เราใช้ดอกสว่านขนาด 5 มม. เพื่อสร้างรูนำร่องบนไม้ทั้งสองชิ้นและเจาะรูที่ชิ้นส่วนด้านล่างเพื่อเจาะหัวสกรูให้เรียบ

หมายเหตุ: ระวังอย่าแยกชิ้นไม้แนวตั้งเพราะจะเจาะเข้าไปในเม็ดสุดท้าย ให้ใช้สกรูไม้แบบยาวด้วย เพราะสิ่งสำคัญคือเฟรมจะไม่สั่นและส่วนบนเนื่องจากการงัด

ขั้นตอนที่ 9: การฝังตัวระบายความร้อนและแม่เหล็ก

เนื่องจากด้ายในชิ้นส่วนที่พิมพ์ 3 มิติมักจะเสื่อมสภาพเมื่อเวลาผ่านไป เราจึงตัดสินใจฝังฮีทซิงค์ รูมีขนาดเล็กกว่าเล็กน้อยเพื่อให้ตัวระบายความร้อนจับพลาสติกได้ดีขึ้น เราวางแผงระบายความร้อน M3 ไว้เหนือรูแล้วดันเข้าไปด้วยปลายหัวแร้ง ความร้อนจะละลายพลาสติก ปล่อยให้ฟันลิ่มเข้าไป ตรวจสอบให้แน่ใจว่าฟันชิดกับพื้นผิวและไปในแนวตั้งฉาก เม็ดมีดเกลียวมีทั้งหมด 8 จุด: 4 จุดสำหรับฝาและ 4 จุดสำหรับติดตั้ง Arduino Uno

เพื่อความสะดวกในการติดตั้งชุดจับเวลา เราฝังแม่เหล็กไว้ในกล่อง ทำให้ง่ายต่อการถอดออกหากจำเป็นต้องเปลี่ยนแปลง แม่เหล็กต้องปรับทิศทางไปในทิศทางเดียวกันก่อนที่จะถูกผลักเข้าที่

ขั้นตอนที่ 10: การแนบลิมิตสวิตช์

ลิมิตสวิตช์สามตัวติดอยู่ที่ด้านหนึ่งของยูนิตจับเวลาซึ่งหันไปทางด้านล่างของเส้นทาง ดังนั้น เมื่อลูกบอลคลิกสวิตช์ เราสามารถกำหนดได้ว่าลูกไหนถึงก่อน และแสดงเวลาบนจอ LCD บัดกรีลวดเส้นเล็กๆ เข้ากับขั้วและยึดไว้ในช่องเสียบด้วยกาว CA เล็กน้อย เนื่องจากไม่ควรคลายหลังจากการเคาะอย่างต่อเนื่อง

ขั้นตอนที่ 11: จอ LCD

ฝาปิดชุดจับเวลามีช่องสี่เหลี่ยมสำหรับหน้าจอ LCD และช่องสำหรับปุ่ม "เริ่ม" เรายึดจอแสดงผลด้วยกาวร้อนเล็กน้อยจนชิดกับพื้นผิวของฝาปิด และยึดปุ่มสีแดงด้วยน็อตยึด

ขั้นตอนที่ 12: การเดินสายไฟอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์

การเดินสายประกอบด้วยการเชื่อมต่อส่วนประกอบต่างๆ เข้ากับหมุดด้านขวาบน Arduino ทำตามแผนภาพการเดินสายไฟที่แนบมาด้านบนเพื่อตั้งค่ากล่อง

ขั้นตอนที่ 13: การอัปโหลดรหัส

รหัส Arduino สำหรับโครงการ brachistochrone สามารถพบได้ที่ด้านล่าง มีช่องเปิดสองช่องในช่องอิเล็กทรอนิกส์เพื่อให้เข้าถึงพอร์ตการเขียนโปรแกรมของ Arduino และสำหรับแจ็คไฟได้ง่าย

ปุ่มสีแดงที่ติดอยู่ด้านบนของกล่องใช้เพื่อเริ่มจับเวลา เมื่อลูกแก้วกลิ้งลงมาตามเส้นโค้งและเปิดสวิตช์ลิมิต ซึ่งวางไว้ที่ด้านล่าง เวลาจะถูกบันทึกตามลำดับ หลังจากตีทั้งสามลูกแล้ว หน้าจอ LCD จะแสดงผลลัพธ์โดยสอดคล้องกับเส้นโค้งตามลำดับ (รูปภาพที่แนบมาด้านบน) เมื่อคุณจดบันทึกผลลัพธ์แล้ว ในกรณีที่จำเป็นต้องอ่านครั้งที่สอง เพียงกดปุ่มหลักอีกครั้งเพื่อรีเฟรชตัวจับเวลาและทำขั้นตอนเดิมซ้ำ

ขั้นตอนที่ 14: คู่มือการพิมพ์ 3 มิติ

คู่มือที่พิมพ์ 3 มิติมีฐานวัสดุ 3 มม. ก่อนที่ผนังรองรับจะเริ่มขึ้น ดังนั้นเมื่อเลื่อนแผ่นอะครีลิกเข้าที่ จะมีช่องว่างระหว่างแผงกับโครงไม้ ทำให้ความคงตัวของทางเดินลดลง

ดังนั้นจึงต้องฝังไกด์เข้าไปในไม้ 3 มม. เนื่องจากเราไม่มีเร้าท์เตอร์ เราจึงนำไปที่เวิร์กช็อปในพื้นที่แล้วนำไปทำเครื่องกัด หลังจากขัดเล็กน้อย ภาพพิมพ์ก็แนบสนิท และเราสามารถยึดมันด้วยสกรูไม้จากด้านข้าง แนบด้านบนเป็นเทมเพลตสำหรับวางไกด์ 6 ตัวบนกรอบไม้

ขั้นตอนที่ 15: การเพิ่ม Stopper และ Timing Unit

เนื่องจากโมดูลจับเวลาเป็นระบบที่แยกจากกัน เราจึงตัดสินใจทำการติดตั้งและถอดระบบอย่างรวดเร็วโดยใช้แม่เหล็ก ด้วยวิธีนี้ เราสามารถตั้งโปรแกรมได้อย่างง่ายดาย เพียงแค่ถอดตัวเครื่องออก แทนที่จะสร้างแม่แบบเพื่อย้ายตำแหน่งของแม่เหล็กที่ต้องฝังอยู่ในไม้ เราเพียงแค่ปล่อยให้พวกมันเชื่อมต่อกับแม่เหล็กบนกล่องแล้วทากาวเล็กน้อยแล้ววางกล่องลงบนชิ้นไม้ รอยกาวถูกย้ายไปยังเนื้อไม้ ทำให้เราเจาะรูในจุดที่ถูกต้องได้อย่างรวดเร็ว สุดท้ายติดตัวหยุดที่พิมพ์ 3 มิติและชุดจับเวลาควรพอดีอย่างอบอุ่น แต่สามารถถอดออกได้ด้วยการดึงเล็กน้อย

ขั้นตอนที่ 16: กลไกการปลดปล่อย

กลไกการปลดปล่อยนั้นตรงไปตรงมา ใช้น็อตและโบลต์เพื่อเชื่อมต่อส่วน C กับเดือยเดือยให้แน่น ทำให้เป็นชิ้นส่วนที่ปลอดภัย จากนั้นเจาะรูสองรูตรงกลางไม้แนวตั้งแล้วติดที่ยึด สลิปเพลาหมุนและกลไกเสร็จสมบูรณ์

ขั้นตอนที่ 17: การทดลอง

เมื่อตัวแบบพร้อมแล้ว ก็สามารถทำการทดลองต่อไปนี้ได้

การทดลอง 1

ค่อยๆ เลื่อนแผ่นอะคริลิกของทางตรง เส้นโค้งเบรคิสโตโครน และทางชันอย่างระมัดระวัง (ตามลำดับเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด) จากนั้นดึงสลักขึ้นแล้ววางลูกบอลสามลูกที่ด้านบนของส่วนโค้งเพื่อให้แน่ใจว่าลูกบอลอยู่ในแนวเดียวกันอย่างสมบูรณ์ ยึดให้แน่นโดยให้สลักลง ให้นักเรียนคนหนึ่งปล่อยลูกบอลและอีกคนหนึ่งกดปุ่มสีแดงเพื่อเริ่มระบบจับเวลา สุดท้ายให้สังเกตลูกบอลกลิ้งไปตามเส้นทางและวิเคราะห์ผลลัพธ์ที่แสดงบนโมดูลเวลา การตั้งค่ากล้องเพื่อบันทึกภาพสโลว์โมชั่นนั้นน่าตื่นเต้นยิ่งกว่าเดิม เนื่องจากสามารถเห็นการแข่งขันแบบเฟรมต่อเฟรม

การทดลอง 2

เช่นเดียวกับสไลด์ทดลองก่อนหน้าในแผงอะครีลิค แต่คราวนี้ทุกเส้นทางจะต้องเป็นเส้นโค้ง brachistonchrone ขอให้นักเรียนคนหนึ่งถือลูกบอลทั้งสามลูกที่ระดับความสูงต่างกันอย่างระมัดระวัง และกดปุ่มสีแดงเมื่อปล่อยลูกบอล ดูช่วงเวลาที่น่าอัศจรรย์เมื่อลูกบอลเข้าแถวอย่างสมบูรณ์ก่อนถึงเส้นชัยและยืนยันการสังเกตด้วยผลลัพธ์

ขั้นตอนที่ 18: บทสรุป

การสร้างแบบจำลอง brachistochrone เป็นการลงมือปฏิบัติจริงเพื่อดูวิธีการทำงานของวิทยาศาสตร์อย่างอัศจรรย์ การทดลองไม่เพียงสนุกในการรับชมและมีส่วนร่วม แต่ยังมีการสังเคราะห์แง่มุมการเรียนรู้อีกด้วย แม้ว่าโดยหลักแล้วจะเป็นโครงงานสำหรับนักเรียนมัธยมปลาย ทั้งในทางปฏิบัติและในเชิงทฤษฎี เด็กที่อายุน้อยกว่าสามารถเข้าใจการสาธิตนี้ได้ง่าย และสามารถแสดงเป็นการนำเสนอแบบง่ายได้

เราขอสนับสนุนให้คนทำสิ่งต่างๆ ไม่ว่าจะสำเร็จหรือล้มเหลว เพราะท้ายที่สุดแล้ว STEM ก็สนุกเสมอ! มีความสุขในการทำ!

ลงคะแนนในการประกวดในชั้นเรียนหากคุณชอบคำแนะนำและแสดงความคิดเห็นในส่วนความคิดเห็น

รางวัลชนะเลิศการแข่งขันวิชาวิทยาศาสตร์ในห้องเรียน