Mandelbrot และ Julia ตั้งค่าบน ESP32: 4 ขั้นตอน (พร้อมรูปภาพ)

2024 ผู้เขียน: John Day | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2024-01-30 13:04

คุณรู้จักแฟร็กทัลอย่างแน่นอน ซึ่งมีชื่อเสียงมากที่สุดคือเซตแมนเดลบรอต

นี่คือโปรแกรมที่จะเล่นกับ ESP32 ฉันเลือก ESP32 เพราะฉันคิดว่ามันจะทำการคำนวณได้เร็วกว่า Arduino มาตรฐาน (ความถี่สัญญาณนาฬิกาที่สูงกว่า: 240 MHz): ประมาณหนึ่งวินาทีถึงหนึ่งวินาทีครึ่งสำหรับการคำนวณและแสดงผล

รหัสแสดงบนหน้าจอสัมผัส 480 x 320 TFT โดยจะคำนวณชุด Mandelbrot และ Julia สำหรับค่าพารามิเตอร์หลายค่า และช่วยให้คุณสามารถขยายพื้นที่ที่สนใจเพื่อดูลักษณะเศษส่วนได้ (เช่น การมีอยู่ของโครงสร้างเดียวกันในแต่ละมาตราส่วนการเปลี่ยนแปลง) ระดับการซูมถูกจำกัดเนื่องจากความแม่นยำในการคำนวณที่จำกัด แต่สามารถซูมได้ครึ่งโหลก่อนที่ภาพจะลดขนาดลง

เตรียมพร้อมที่จะสำรวจโลกมหัศจรรย์ของเศษส่วน…

ขั้นตอนที่ 1: ชุด Mandelbrot และ Julia คืออะไร

ชุด Mandelbrot ได้รับการตั้งชื่อตาม Benoit Mandelbrot (1924-2010) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสและชาวอเมริกันที่ทำงานบุกเบิกในเรขาคณิตเศษส่วนซึ่งเริ่มต้นเมื่อปลายศตวรรษที่ 19 โดย Peano, Sierpinski และ Julia

วัตถุเศษส่วนคืออะไร?

ความผิดปกติของธรรมชาติซึ่งอาจดูวุ่นวาย เช่น แนวชายฝั่งทะเล รูปร่างของเมฆ ต้นไม้ อันที่จริงแล้วเป็นการแสดงออกของเรขาคณิตที่ซับซ้อนมากในระดับการเปลี่ยนแปลง ในบริบทนี้ แนวคิดเรื่องมิติเศษส่วนมาแทนที่มิติปกติของยุคลิด (ซึ่งจะเป็นจำนวนเต็มเสมอ)!

วัตถุเศษส่วนมีลักษณะที่ส่วนใดส่วนหนึ่งของมันเหมือนกับทั้งหมด (นี้เรียกว่าความคล้ายคลึงในตัวเอง): โครงสร้างของมันไม่แปรผันตามการเปลี่ยนแปลงของสเกล

คำว่า "เศษส่วน" เป็นแนวคิดใหม่ที่สร้างขึ้นโดย Benoît Mandelbrot ในปี 1974 จากรากศัพท์ภาษาละติน fractus ซึ่งหมายความว่า "หัก", "ไม่ปกติ" เป็นทั้งคำนามและคำคุณศัพท์ ปรากฏการณ์ทางธรรมชาติหลายอย่าง เช่น โครงร่างของแนวชายฝั่งหรือลักษณะของกะหล่ำปลีโรมาเนสโก (ดูรูป) มีรูปร่างเป็นเศษส่วนโดยประมาณ

Benoît Mandelbrot มีอาชีพที่ค่อนข้างผิดปรกติ: หลังจากสอนที่มหาวิทยาลัย Lille (ฝรั่งเศส) เขาเข้ารับตำแหน่งที่ IBM ซึ่งเขาได้กลายเป็น IBM Fellow อย่างรวดเร็ว ซึ่งทำให้เขามีอิสระอย่างมากในการศึกษาทางวิทยาศาสตร์ของเขา ในช่วงต้นทศวรรษ 1980 หลังจากที่เขาออกจาก IBM เขาก็กลายเป็นศาสตราจารย์ที่ฮาร์วาร์ด แต่มาตั้งรกรากที่มหาวิทยาลัยเยลอย่างถาวร

งานของเขาในทศวรรษที่ 1960 และต้นทศวรรษ 1970 ทำให้เขาตีพิมพ์บทความที่มีชื่อเสียงเรื่อง " Fractal Objects " ซึ่งเขาแสดงให้เห็นว่าวัตถุเหล่านี้ ซึ่งถือว่าส่วนใหญ่ของชุมชนคณิตศาสตร์เป็นเพียงความอยากรู้อยากเห็น ถูกพบทุกที่ในธรรมชาติ เขาได้ยกตัวอย่างมากมายในหลากหลายสาขา เช่น ฟิสิกส์ อุทกวิทยา การเงิน อุตุนิยมวิทยา ภูมิศาสตร์ ธรณีวิทยา โลหะวิทยา….

ชุด Mandelbrot คืออะไร?

ในการเริ่มต้น สมมติว่าเป็นภาพวาดที่ดีที่สร้างโดยโปรแกรม และโปรแกรมนี้ค่อนข้างง่าย มีภาพวาดที่สร้างด้วยคอมพิวเตอร์จำนวนมากและซอฟต์แวร์คอมพิวเตอร์จำนวนมากเพื่อสร้างมันขึ้นมา แล้วมันพิเศษยังไงล่ะทีนี้? อย่างแรก ชุด Mandelbrot เป็นชุดย่อยของแผน ซึ่งเป็นชุดของคะแนน ประกอบด้วยพื้นที่แต่ยังมีส่วนโค้งเรียบ เส้นใย จุดที่กิ่งก้านหลายกิ่งเล็ดลอดออกมา และสิ่งอื่น ๆ ประการที่สอง: มันน่าทึ่งมากและมีประวัติที่น่าสนใจมาก

ในตอนต้นของศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Pierre Fatou และ Gaston Julia ได้พัฒนาโดเมนย่อยของคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า holomorphic dynamics พวกเขาสนใจในฟังก์ชันเฉพาะ ดำเนินการกับตัวเลข โดยใช้สูตรที่ง่ายที่สุดบางสูตรที่มี ตัวเลขที่เป็นปัญหาคือจำนวนเชิงซ้อน ปริมาณที่แสดงด้วยพิกัดสองพิกัด (เหมือนกับจุดบนระนาบ) ที่เรียกว่าส่วนจริงและส่วนจินตภาพ พวกเขาถูกคิดค้นขึ้นในศตวรรษที่ 16 โดยนักคณิตศาสตร์เพื่อช่วยค้นหารากของพหุนามและการแก้สมการ แต่พบว่ามีการนำไปใช้อย่างกว้างขวางและลึกซึ้งในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์กายภาพ เราบวกจำนวนเชิงซ้อนได้ 2 จำนวน คูณหรือหารพวกมัน และทำสิ่งอื่นๆ ได้มากมาย Fatou และ Julia ศึกษาคุณสมบัติของระบบไดนามิกบางระบบ โดยที่จำนวนเชิงซ้อนจะแปรผันตามกฎง่ายๆ ที่ทำซ้ำแล้วซ้ำเล่า: ไม่จำเป็นต้องใช้คณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนในที่นี้ (จนลืมรูปแรกไปเลย…) พวกเขาเปิดเผยความสมบูรณ์ของระบบเหล่านี้ กำหนดชุดที่ตอนนี้เรียกว่าชุดของจูเลีย และศึกษาความคล้ายคลึงในตนเอง ดังนั้นจึงเป็นแง่มุมที่เป็นเศษส่วน… แต่คำนั้นไม่มีอยู่ในขณะนั้นเพราะถูกประดิษฐ์ขึ้นในภายหลังโดย… เบนัวต์ มานเดลบรอต!

หลังจากงานของผู้ก่อตั้ง โดเมนนี้ถูกลืมเลือนไป เมื่อคอมพิวเตอร์มาถึง พวกเขาช่วยสำรวจปรากฏการณ์ทางคณิตศาสตร์จำนวนมากที่ต้องใช้การคำนวณอย่างเข้มข้น รวมถึงโดเมนที่เปิดโดย Julia และ Fatou ดังนั้น เมื่อ Benoît Mandelbrot ตัดสินใจใช้คอมพิวเตอร์ IBM ในช่วงปี 1980 เพื่อแสดงชุดทางคณิตศาสตร์บางอย่างที่เกี่ยวข้องกับไดนามิกของโฮโลมอร์ฟิค เขาได้ภาพวาดที่น่าสนใจและน่าสนใจมาก (ภาพแรกของส่วนก่อนหน้า)

ชุด Mandelbrot แสดงถึงอะไร? โดยพื้นฐานแล้วจะมีระบบไดนามิกพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับแต่ละจุดของภาพ พิกัดของจุดทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ที่ปรับได้ จุดต่างๆ สอดคล้องกับชุดของ Julia ที่แตกต่างกัน และขึ้นอยู่กับพฤติกรรมของพวกมัน เราสามารถตัดสินใจกำหนดสีให้กับจุดนั้นด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง ชุด Mandelbrot คือชุดของพารามิเตอร์ที่ระบบมีคุณสมบัติบางอย่าง

จะคำนวณชุด Mandelbrot และ Julia ได้อย่างไร

เราจำเป็นต้องลงรายละเอียดเพิ่มเติมเล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีการคำนวณชุดเหล่านี้ ชุด Mandelbrot และ Julia คำนวณโดยการวนซ้ำของสูตรง่ายๆ ในกรณีของเรา z^n+c z คือจำนวนเชิงซ้อนที่แสดงพิกัดของจุดบนจอแสดงผล เป็นเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ดังนั้น z^n เท่ากับ z คูณด้วยตัวมันเอง n คูณ และ c เป็นค่าคงที่

สำหรับชุด Mandelbrot สำหรับทุกจุดในพื้นที่แสดงผล เราเริ่มต้น z ถึง 0 ค่าคงที่ c จะถูกนำมาเท่ากับค่าของพิกัดของจุดที่พิจารณา และมีการวนซ้ำสูตร

นี่คือกฎ: จุดเป็นส่วนหนึ่งของชุดหากการใช้สูตรนี้ซ้ำแล้วซ้ำอีกไม่แตกต่างกัน (กล่าวคือไม่นำไปสู่การคำนวณเป็นจำนวนมาก) สามารถแสดงทางคณิตศาสตร์ได้ว่าหากผลลัพธ์ของสูตรเกิน 2 (ในโมดูลัสเนื่องจากเรากำลังพูดถึงจำนวนเชิงซ้อน) การวนซ้ำจะแตกต่างกัน ดังนั้นเพื่อให้ได้สีสันที่สวยงามอย่างรวดเร็ว เราจึงหยุดการทำซ้ำเมื่อโมดูลัสของผลลัพธ์เกิน 2 และสีจะสอดคล้องกับจำนวนการวนซ้ำนั้น หากจำนวนการวนซ้ำมากเกินไป (ดังนั้น หากจุดนั้นเป็นส่วนหนึ่งของชุด Mandelbrot) เราจะหยุดหลังจากผ่านเกณฑ์ที่กำหนดและเชื่อมโยงสีดำกับจุดนี้

ชุด Julia ถูกคำนวณในลักษณะเดียวกัน แต่การคำนวณไม่ได้เริ่มต้นที่ 0 แต่ที่ค่าของพิกัดของจุดที่พิจารณา และค่าคงที่ c ถูกเลือกโดยผู้ใช้ และยังคงเหมือนเดิมสำหรับทั้งภาพ

แค่นั้นแหละ ฉันหวังว่ามันจะชัดเจน… คำอธิบายเหล่านี้ช่วยให้เข้าใจคำแนะนำที่เหลือในการใช้งานได้ดีขึ้น

ขั้นตอนที่ 2: คุณต้องการอะไร

รายการวัสดุ:

• 1 บอร์ด ESP32
• 1 จอแสดงผล TFT พร้อมหน้าจอสัมผัสและสไตลัส
• 1 เขียงหั่นขนมและสายไฟ

แค่นั้นแหละ. ค่าใช้จ่ายทั้งหมดต่ำกว่า 10 USD

ESP32 ของ Espressif เป็นไมโครคอนโทรลเลอร์แบบดูอัลคอร์ที่ทำงานที่ 240 MHz ซึ่งทำให้เป็นตัวเลือกที่ดีสำหรับการคำนวณซ้ำที่รวดเร็วและซับซ้อน มีความจุ WiFi และ Bluetooth ที่ฉันไม่ได้ใช้ในโครงการนี้

ชุดคำสั่งมีขนาด 32 บิต การคำนวณด้วยตัวแปร 16 และ 32 บิตนั้นรวดเร็วมาก ซึ่งช่วยให้สามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำ ซึ่งเป็นพื้นฐานสำคัญในการซูม ในแอปพลิเคชันนี้ สำหรับจอแสดงผลขนาด 320 x 240 รูปภาพจะมีขนาดประมาณ 75, 000 พิกเซล ซึ่งแต่ละภาพคำนวณโดยใช้กระบวนการวนซ้ำซึ่งอาจทำงานได้ถึง 100 ครั้ง ซึ่งอาจนำไปสู่การคำนวณรวมกันได้ 7, 500,000 รายการ ซึ่งแต่ละอันเป็นการยกกำลัง นั่นคือ การคูณหลาย…

ดังนั้นความเร็วในการคำนวณจึงเป็นสิ่งสำคัญ แต่ความแม่นยำเป็นพื้นฐาน ยิ่งคุณซูมมากเท่าใด ขนาดของส่วนของชุดที่จะแสดงก็จะเล็กลงเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าแต่ละภาพขนาด 320 x 240 พิกเซลเป็นตัวเลขที่ใกล้เคียงที่สุดกับเพื่อนบ้าน เมื่อการซูมเพิ่มขึ้น ความใกล้ชิดนี้ก็จะเพิ่มขึ้น

แต่รูปภาพเศษส่วนมีคุณสมบัตินี้ซึ่งยังคงไม่เปลี่ยนแปลงโดยการปรับขนาด รายละเอียดเล็กๆ น้อยๆ จึงปรากฏขึ้นทุกที่และสำหรับปัจจัยการปรับขนาดใดๆ รูปร่างหลักของชุด Mandelbrot ดังที่แสดงในภาพด้านบน สามารถพบได้ที่อื่นในเวอร์ชันที่เล็กกว่ามากและจะปรากฏขึ้นหากคุณซูมเข้าไปใกล้พอ (ดูในวิดีโอ) แต่ถ้าความต่างของพิกัดระหว่างพิกเซลข้างเคียง 2 พิกเซลนั้นเล็กเกินไปที่จะทำให้ ESP32 สามารถตรวจจับความแตกต่างของพฤติกรรมได้ เนื่องจากขาดความแม่นยำ เอฟเฟกต์เศษส่วนก็ไม่สามารถแสดงผลได้…

เพื่อให้ได้ความแม่นยำที่ดี โค้ดนี้ใช้ floats ซึ่งถูกเข้ารหัสใน 32 บิตโดย ESP32 ซึ่งช่วยให้สามารถซูมได้ถึง 6 หรือ 7 ระดับ การใช้ความแม่นยำสองเท่า (64 บิต) จะเพิ่มความลึกของการซูมนี้ โดยต้องเสียค่าคำนวณที่ช้าลง ซึ่งจะใช้เวลาระหว่าง 2 ภาพนานขึ้น

หากต้องการเพิ่มความแม่นยำเป็นสองเท่า เพียงแค่เปลี่ยนการเกิดขึ้นทั้งหมดของ "float" เป็น "double" ในโค้ดและรันโค้ด ฉันเพิ่งสร้างเวอร์ชันสำหรับจอแสดงผลที่ใหญ่ขึ้น (HVGA 480 x 320 พิกเซล): 16 บิตแบบลอยใช้เวลา 3 วินาทีในการแสดงภาพ และแบบคู่จะใช้เวลาระหว่าง 10 ถึง 20 วินาที (นานกว่า 3 ถึง 6 เท่า) แต่รองรับการซูมมากกว่า 15 ระดับ. ภาพที่สามในบทนี้แสดงระดับการซูม 14 ในส่วนขวาสุดของชุด Mandelbrot

วิธีเชื่อมต่อจอแสดงผล:

ฉันใช้จอแสดงผล SPI และตั้งค่าพารามิเตอร์ในไฟล์ User_Setup.h (ในโฟลเดอร์ไลบรารี TFT_eSPI):

• ไดรเวอร์: ยกเลิกหมายเหตุไดรเวอร์ที่ถูกต้องสำหรับจอแสดงผลของคุณ ของฉันคือ #define RPI_ILI9486_DRIVER

• หมายเลขพิน: ไปที่ส่วน ESP32 ของไฟล์แล้วเลือก

  • #define TFT_MISO 19
  • #define TFT_MOSI 23
  • #define TFT_SCLK 18
  • #define TFT_CS 15 // พินควบคุมการเลือกชิป
  • #define TFT_DC 2 // พินควบคุมคำสั่งข้อมูล
  • #define TFT_RST 4 // รีเซ็ตพิน (สามารถเชื่อมต่อกับพิน RST ได้)
  • #define TOUCH_CS 22 // Chip select pin (T_CS) ของหน้าจอสัมผัส
• แบบอักษร: ไม่ต้องเปลี่ยน

• ตัวเลือกอื่นๆ: ฉันเลือกตัวเลือกต่อไปนี้

  • #define SPI_FREQUENCY 20000000
  • #define SPI_READ_FREQUENCY 20000000
  • #define SPI_TOUCH_FREQUENCY 2500000

บรรทัดอื่น ๆ ของไฟล์ทั้งหมดจะถูกใส่ความคิดเห็น

ปรับเทียบความสามารถในการสัมผัสของจอแสดงผล

หากการเลือกส่วนของหน้าจอหรือปุ่มไม่ถูกต้อง หรือแม้กระทั่งผิดพลาดโดยสิ้นเชิง ให้เรียกใช้ภาพร่างการปรับเทียบการสัมผัสจากไลบรารี TFT_eSPI แล้วคัดลอก / วางลงในโค้ดของอาร์เรย์ที่มีให้ (ต้องแน่ใจว่าใช้ค่าที่ถูกต้องสำหรับการวางแนวการแสดงผล, 1 หรือ 3 สำหรับแนวนอน)

ขั้นตอนที่ 3: โปรแกรม ESP32

รหัสจะแสดงบนหน้าจอสัมผัส 320 x 240 TFT และใช้ไลบรารี TFT_eSPI โดยจะคำนวณชุด Mandelbrot และ Julia สำหรับค่าเลขชี้กำลังหลายค่า และช่วยให้คุณสามารถขยายพื้นที่ที่สนใจเพื่อดูลักษณะเศษส่วนได้ (เช่น การมีอยู่ของโครงสร้างเดียวกันในแต่ละมาตราส่วนการเปลี่ยนแปลง)

รหัสที่แนบมาเป็นเวอร์ชันสำหรับจอแสดงผล 480 x 320 ในเวอร์ชันนี้ คุณสามารถเปลี่ยนขนาด (ความกว้างและความสูงเป็นพิกเซล) ของจอแสดงผลได้ ไลบรารี TFT_eSPI กำหนดการเชื่อมต่อในไฟล์ติดตั้ง (แนบมาด้วย) ซึ่งจะต้องใส่ไว้ในไดเร็กทอรีของไลบรารี

รหัสเริ่มต้นด้วยการแสดงคู่มือการใช้งาน (ดูภาพและวิดีโอ)

หน้าจอส่วนใหญ่สงวนไว้สำหรับแสดงภาพ ปุ่มสัมผัสจะอยู่ทางด้านขวาของหน้าจอ:

• R: ทำการ "รีเซ็ต", i. อี แสดงภาพตามขนาดสูงสุด
• U: "เลิกทำ" ให้คุณย้อนกลับไปยังขั้นตอนก่อนหน้า (หากขอบเขตที่ซูมไม่น่าสนใจ คุณสามารถเลือกส่วนอื่นของภาพเพื่อซูมเข้าได้)
• M หรือ J: ให้คุณเปลี่ยนจากชุดของ Mandelbrot เป็นชุดของ Julia และในทางกลับกัน

ป้ายกำกับของบางปุ่มจะเปลี่ยนไปตามบริบท: แสดงฟังก์ชันที่จะดำเนินการหากกด ดังนั้น หากคุณแสดงชุด Mandelbrot ในปัจจุบัน ปุ่ม M/J จะแสดง J เนื่องจากหากคุณกดมัน จะแสดงชุดของ Julia (และในทางกลับกัน)

เช่นเดียวกับการเลือกจานสี เราเริ่มต้นด้วยจานสีเขียว คีย์เสนอจานสีถัดไป (จานสีน้ำเงิน) จานสีคือ: แดง, เขียว, น้ำเงิน, เทา, จานสี 1, จานสี 2 และกลับเป็นสีแดง สองรายการสุดท้ายเป็นการทดสอบพาเลทหลากสีซึ่งให้คอนทราสต์ที่มากกว่า ทำให้มองเห็นรายละเอียดได้ดีขึ้น

คีย์ที่มีตัวเลขช่วยให้คุณเลือกเลขชี้กำลัง n ได้ตั้งแต่ 2 ถึง 7 (และย้อนกลับเป็น 2) ในจิตวิญญาณเดียวกันจะแสดง 3 หากคุณอยู่ที่ 2…

สุดท้ายเมื่อแสดงชุด Julia จำเป็นต้องเลือกค่าคงที่ c: ปุ่ม C ช่วยให้คุณทำได้โดยใช้ตัวเลือก (ดูภาพที่สอง) ค่าของค่าคงที่นี้จะแสดงพร้อมกับชุด

การคลิกที่ภาพจะซูมไปรอบๆ จุดที่เลือก วงกลมขนาดเล็กจะปรากฏขึ้นที่จุดที่สัมผัส และสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะไฮไลต์โซนที่ซูมของชุด

ภาพที่ 3 แสดงว่าเวลาในการประมวลผลยังคงอยู่ระหว่าง 0.8 ถึง 1.2 วินาทีสำหรับ 320 x 240 พิกเซล ซึ่งทำให้สะดวกต่อการซูมและแสดงผล ถึง 3 วินาทีสำหรับ 480 x 320 พิกเซล แต่ให้รายละเอียดเพิ่มเติม

ขั้นตอนที่ 4: รูปภาพบางภาพอธิบาย…

ภาพที่ใหญ่ที่สุดคือฉาก Mandelbrot ที่รู้จักกันดี จำนวนเชิงซ้อนที่ใช้ในภาพนี้อยู่ในช่วงตั้งแต่ -2.1 ถึง +0.7 ใน abscissa และ -1.2 ถึง 1.2 ในลำดับ หากคุณซูมส่วนซ้ายสุดของภาพแรกนี้ โอกาสที่คุณจะได้ภาพที่สองในที่สุด ซึ่งจะแสดงชุดดั้งเดิมในเวอร์ชันที่เล็กกว่าที่พบในส่วนปลายซ้ายสุดของชุด สำหรับรูปภาพทั้งสองนี้ เลขชี้กำลัง ('n') เท่ากับ 2: นั่นคือค่าปกติที่ใช้เพื่อแสดงชุด Mandelbrot

หากคุณเปลี่ยนค่านี้เป็น 3 (เพียงคลิกที่ปุ่มว่า 3) คุณจะได้ภาพที่สาม ความแตกต่างที่เห็นได้ชัดอย่างหนึ่งคือปัจจัยสมมาตร: n=2 ให้สมมาตรตามแนวแกน (เช่น ชุดนั้นสมมาตรกับแกนนอนมัธยฐาน) แต่ด้วย n=3 ภาพจะกลายเป็นค่าคงที่โดยการหมุน 120° (หนึ่งในสามของ 360° การหมุน ปัจจัยสมมาตรของ 3) และยังคงคุณสมบัติเศษส่วนไว้ ซึ่งคุณสามารถตรวจสอบได้ด้วยการซูมที่ขอบของรูปทรงสีดำ

ภาพที่ 4 เป็นชุด Julia ที่ได้รับหลังจากเลือกค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 0.414 ใน abscissa และ 0.09 ในพิกัด เลือกจานสีแดง ตามที่เห็นโดยปุ่มสีเขียวทางด้านขวา (สีเขียว เป็นสีถัดไปที่จะเลือก) ภาพที่ห้าแสดงชุด Julia ชนิดเดียวกัน ซึ่งเป็นส่วนจินตภาพที่สูงขึ้นของค่าคงที่ (0.358)

ฉันหวังว่าคุณจะสนุกกับการเล่นกับโปรแกรมนี้และคุณจะสามารถแสดงภาพเศษส่วนที่สวยงามได้ อย่าลังเลที่จะสำรวจชุด Mandelbrot และ Julia และเล่นกับจานสี: ช่วยระบุรายละเอียดบางอย่างที่อาจมองไม่เห็นด้วยชุดขาวดำธรรมดา คุณอาจค้นพบภูมิประเทศที่เป็นเศษส่วนซึ่งไม่มีใครเคยเห็นมาก่อนคุณ…

_

ต้องการค้นหาภาพเศษส่วนเพิ่มเติมหรือไม่? เพียงคลิกที่นี่หรือสำรวจศิลปะเศษส่วน หรือแม้แต่เศษส่วน ascii บางทีคำแนะนำนี้อาจทำให้คุณต้องการสร้างภาพที่ยอดเยี่ยมเช่นนี้ …

รางวัลรองชนะเลิศการแข่งขัน Made with Math